極座標変換

xy座標を極座標系に変換する話は，どこでもdxdy=rdrdθと簡単に書いてあるけれど，その導出まで丁寧に書いてない．書いてあるとすればいきなり一般化してJacobianを使う話になってしまっている．

もとはガウス積分を求める途中でひっかかった．
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/gaussIntegral/

http://oshiete.eibi.co.jp/kotaeru.php3?q=1173859
に答えがあった．

＜以下引用＞
参考程度に極座標変換の場合は、
x=rsinθy=rcosθ
おのおのの全微分は、
dx=sinθ*dr+rcosθ*dθ --(1)
dy=cosθ*dr-rsinθ*dθ --(2)
(1),(2)からcosθdx-sinθdy=rdθ --(3)
sinθdx+cosθdy=dr --(4)
(3)*(4)=rdrdθ=(1/2)sin2θ[(dx)^2-(dy)^2]+cos2θdxdy
一方、
(1)*(2)=dxdy=sinθcosθ(dr)^2+r(cos^2θ-sin^2θ)drdθ-r^2sinθcosθ(dθ)^2
　　　　　=(1/2)sin2θ[(dr)^2-r^2(dθ)^2]+cos2θrdrdθ
そこで　(1)*(2)=(3)*(4) の条件は、dx=dr, dy=rdθだから、dxdy=rdrdθ でいいんですね。
当然ながら dx,dy とr, rdθが独立になる場合（極座標変換できない図形あるいは関数など）は面積 dxdyとrdrdθは
同じになりませんね。そんな感じでしょうか。